\(\int \frac {(c (d \sin (e+f x))^p)^n}{(3+b \sin (e+f x))^3} \, dx\) [837]

Optimal result

Integrand size = 27, antiderivative size = 405 \[ \int \frac {\left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{(3+b \sin (e+f x))^3} \, dx=\frac {27 b \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},-\frac {n p}{2},3,\frac {3}{2},\cos ^2(e+f x),-\frac {b^2 \cos ^2(e+f x)}{9-b^2}\right ) \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{-\frac {n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{\left (9-b^2\right )^3 f}+\frac {b^3 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},\frac {1}{2} (-2-n p),3,\frac {3}{2},\cos ^2(e+f x),-\frac {b^2 \cos ^2(e+f x)}{9-b^2}\right ) \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{-\frac {n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{\left (9-b^2\right )^3 f}-\frac {9 b^2 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},\frac {1}{2} (-1-n p),3,\frac {3}{2},\cos ^2(e+f x),-\frac {b^2 \cos ^2(e+f x)}{9-b^2}\right ) \cos (e+f x) \sin (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac {1}{2} (-1-n p)} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{\left (9-b^2\right )^3 f}-\frac {27 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},\frac {1}{2} (1-n p),3,\frac {3}{2},\cos ^2(e+f x),-\frac {b^2 \cos ^2(e+f x)}{9-b^2}\right ) \cot (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac {1}{2} (1-n p)} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{\left (9-b^2\right )^3 f} \]

[Out]

3*a^2*b*AppellF1(1/2,-1/2*n*p,3,3/2,cos(f*x+e)^2,-b^2*cos(f*x+e)^2/(a^2-b^2))*cos(f*x+e)*(c*(d*sin(f*x+e))^p)^
n/(a^2-b^2)^3/f/((sin(f*x+e)^2)^(1/2*n*p))+b^3*AppellF1(1/2,-1/2*n*p-1,3,3/2,cos(f*x+e)^2,-b^2*cos(f*x+e)^2/(a
^2-b^2))*cos(f*x+e)*(c*(d*sin(f*x+e))^p)^n/(a^2-b^2)^3/f/((sin(f*x+e)^2)^(1/2*n*p))-3*a*b^2*AppellF1(1/2,-1/2*
n*p-1/2,3,3/2,cos(f*x+e)^2,-b^2*cos(f*x+e)^2/(a^2-b^2))*cos(f*x+e)*sin(f*x+e)*(sin(f*x+e)^2)^(-1/2*n*p-1/2)*(c
*(d*sin(f*x+e))^p)^n/(a^2-b^2)^3/f-a^3*AppellF1(1/2,-1/2*n*p+1/2,3,3/2,cos(f*x+e)^2,-b^2*cos(f*x+e)^2/(a^2-b^2
))*cot(f*x+e)*(sin(f*x+e)^2)^(-1/2*n*p+1/2)*(c*(d*sin(f*x+e))^p)^n/(a^2-b^2)^3/f

Rubi [A] (verified)

Time = 0.47 (sec) , antiderivative size = 428, normalized size of antiderivative = 1.06, number of steps used = 14, number of rules used = 5, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.185, Rules used = {2905, 2903, 3268, 440, 16} \[ \int \frac {\left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{(3+b \sin (e+f x))^3} \, dx=\frac {3 a^2 b \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{-\frac {n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},-\frac {n p}{2},3,\frac {3}{2},\cos ^2(e+f x),-\frac {b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{f \left (a^2-b^2\right )^3}-\frac {3 a b^2 \sin (e+f x) \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac {1}{2} (-n p-1)} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},\frac {1}{2} (-n p-1),3,\frac {3}{2},\cos ^2(e+f x),-\frac {b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{f \left (a^2-b^2\right )^3}+\frac {b^3 \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{-\frac {n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},\frac {1}{2} (-n p-2),3,\frac {3}{2},\cos ^2(e+f x),-\frac {b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{f \left (a^2-b^2\right )^3}-\frac {a^3 \cot (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac {1}{2} (1-n p)} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},\frac {1}{2} (1-n p),3,\frac {3}{2},\cos ^2(e+f x),-\frac {b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{f \left (a^2-b^2\right )^3} \]

[In]

Int[(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n/(a + b*Sin[e + f*x])^3,x]

[Out]

(3*a^2*b*AppellF1[1/2, -1/2*(n*p), 3, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(
c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/((a^2 - b^2)^3*f*(Sin[e + f*x]^2)^((n*p)/2)) + (b^3*AppellF1[1/2, (-2 - n*p)/2, 3, 3/
2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/((a^2 - b^2)^3*
f*(Sin[e + f*x]^2)^((n*p)/2)) - (3*a*b^2*AppellF1[1/2, (-1 - n*p)/2, 3, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*
x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^((-1 - n*p)/2)*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/((a^2
- b^2)^3*f) - (a^3*AppellF1[1/2, (1 - n*p)/2, 3, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cot
[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^((1 - n*p)/2)*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/((a^2 - b^2)^3*f)

Rule 16

Int[(u_.)*(v_)^(m_.)*((b_)*(v_))^(n_), x_Symbol] :> Dist[1/b^m, Int[u*(b*v)^(m + n), x], x] /; FreeQ[{b, n}, x
] && IntegerQ[m]

Rule 440

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^p*c^q*x*AppellF1[1/n, -p,
-q, 1 + 1/n, (-b)*(x^n/a), (-d)*(x^n/c)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[n
, -1] && (IntegerQ[p] || GtQ[a, 0]) && (IntegerQ[q] || GtQ[c, 0])

Rule 2903

Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Int[Expan
dTrig[(d*sin[e + f*x])^n*(1/((a - b*sin[e + f*x])^m/(a^2 - b^2*sin[e + f*x]^2)^m)), x], x] /; FreeQ[{a, b, d,
e, f, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && ILtQ[m, -1]

Rule 2905

Int[((c_.)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol]
:> Dist[c^IntPart[n]*((c*(d*Sin[e + f*x])^p)^FracPart[n]/(d*Sin[e + f*x])^(p*FracPart[n])), Int[(a + b*Sin[e
+ f*x])^m*(d*Sin[e + f*x])^(n*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[n]

Rule 3268

Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff
= FreeFactors[Cos[e + f*x], x]}, Dist[(-ff)*d^(2*IntPart[(m - 1)/2] + 1)*((d*Sin[e + f*x])^(2*FracPart[(m - 1
)/2])/(f*(Sin[e + f*x]^2)^FracPart[(m - 1)/2])), Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b - b*ff^2*x^2)^p,
x], x, Cos[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \left ((d \sin (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \int \frac {(d \sin (e+f x))^{n p}}{(a+b \sin (e+f x))^3} \, dx \\ & = \left ((d \sin (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \int \left (\frac {a^3 (d \sin (e+f x))^{n p}}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^3}-\frac {3 a^2 b \sin (e+f x) (d \sin (e+f x))^{n p}}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^3}+\frac {3 a b^2 \sin ^2(e+f x) (d \sin (e+f x))^{n p}}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^3}+\frac {b^3 \sin ^3(e+f x) (d \sin (e+f x))^{n p}}{\left (-a^2+b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^3}\right ) \, dx \\ & = \left (a^3 (d \sin (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \int \frac {(d \sin (e+f x))^{n p}}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^3} \, dx-\left (3 a^2 b (d \sin (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \int \frac {\sin (e+f x) (d \sin (e+f x))^{n p}}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^3} \, dx+\left (3 a b^2 (d \sin (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \int \frac {\sin ^2(e+f x) (d \sin (e+f x))^{n p}}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^3} \, dx+\left (b^3 (d \sin (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \int \frac {\sin ^3(e+f x) (d \sin (e+f x))^{n p}}{\left (-a^2+b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^3} \, dx \\ & = \frac {\left (b^3 (d \sin (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \int \frac {(d \sin (e+f x))^{3+n p}}{\left (-a^2+b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^3} \, dx}{d^3}+\frac {\left (3 a b^2 (d \sin (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \int \frac {(d \sin (e+f x))^{2+n p}}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^3} \, dx}{d^2}-\frac {\left (3 a^2 b (d \sin (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \int \frac {(d \sin (e+f x))^{1+n p}}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^3} \, dx}{d}-\frac {\left (a^3 d (d \sin (e+f x))^{-n p+2 \left (-\frac {1}{2}+\frac {n p}{2}\right )} \sin ^2(e+f x)^{\frac {1}{2}-\frac {n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {\left (1-x^2\right )^{\frac {1}{2} (-1+n p)}}{\left (a^2-b^2+b^2 x^2\right )^3} \, dx,x,\cos (e+f x)\right )}{f} \\ & = -\frac {a^3 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},\frac {1}{2} (1-n p),3,\frac {3}{2},\cos ^2(e+f x),-\frac {b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right ) \cot (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac {1}{2} (1-n p)} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{\left (a^2-b^2\right )^3 f}+\frac {\left (3 a^2 b \sin ^2(e+f x)^{-\frac {n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {\left (1-x^2\right )^{\frac {n p}{2}}}{\left (a^2-b^2+b^2 x^2\right )^3} \, dx,x,\cos (e+f x)\right )}{f}-\frac {\left (b^3 \sin ^2(e+f x)^{-\frac {n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {\left (1-x^2\right )^{\frac {1}{2} (2+n p)}}{\left (-a^2+b^2-b^2 x^2\right )^3} \, dx,x,\cos (e+f x)\right )}{f}-\frac {\left (3 a b^2 (d \sin (e+f x))^{-n p+2 \left (\frac {1}{2}+\frac {n p}{2}\right )} \sin ^2(e+f x)^{-\frac {1}{2}-\frac {n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {\left (1-x^2\right )^{\frac {1}{2} (1+n p)}}{\left (a^2-b^2+b^2 x^2\right )^3} \, dx,x,\cos (e+f x)\right )}{d f} \\ & = \frac {3 a^2 b \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},-\frac {n p}{2},3,\frac {3}{2},\cos ^2(e+f x),-\frac {b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right ) \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{-\frac {n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{\left (a^2-b^2\right )^3 f}+\frac {b^3 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},\frac {1}{2} (-2-n p),3,\frac {3}{2},\cos ^2(e+f x),-\frac {b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right ) \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{-\frac {n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{\left (a^2-b^2\right )^3 f}-\frac {3 a b^2 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},\frac {1}{2} (-1-n p),3,\frac {3}{2},\cos ^2(e+f x),-\frac {b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right ) \cos (e+f x) \sin (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac {1}{2} (-1-n p)} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{\left (a^2-b^2\right )^3 f}-\frac {a^3 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},\frac {1}{2} (1-n p),3,\frac {3}{2},\cos ^2(e+f x),-\frac {b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right ) \cot (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac {1}{2} (1-n p)} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{\left (a^2-b^2\right )^3 f} \\ \end{align*}

Mathematica [B] (warning: unable to verify)

Leaf count is larger than twice the leaf count of optimal. \(2467\) vs. \(2(405)=810\).

Time = 19.28 (sec) , antiderivative size = 2467, normalized size of antiderivative = 6.09 \[ \int \frac {\left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{(3+b \sin (e+f x))^3} \, dx=\text {Result too large to show} \]

[In]

Integrate[(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n/(3 + b*Sin[e + f*x])^3,x]

[Out]

((Sec[e + f*x]^2)^((n*p)/2)*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n*Tan[e + f*x]*(Tan[e + f*x]/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^(n*p)*(-
3*(2 + n*p)*(3*(3 + b^2)*AppellF1[(1 + n*p)/2, -1 + (n*p)/2, 2, (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[
e + f*x]^2)/9] - 4*b^2*AppellF1[(1 + n*p)/2, -1 + (n*p)/2, 3, (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e
+ f*x]^2)/9]) + b*(27 + b^2)*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (n*p)/2, (-1 + n*p)/2, 2, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((
-9 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/9]*Tan[e + f*x] - 4*b^3*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (n*p)/2, (-1 + n*p)/2, 3, 2 + (n*p)/2
, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/9]*Tan[e + f*x]))/(81*(-9 + b^2)*f*(1 + n*p)*(2 + n*p)*(3 + b*S
in[e + f*x])^3*(((Sec[e + f*x]^2)^(1 + (n*p)/2)*(Tan[e + f*x]/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^(n*p)*(-3*(2 + n*p)*(3*(3
+ b^2)*AppellF1[(1 + n*p)/2, -1 + (n*p)/2, 2, (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/9] - 4
*b^2*AppellF1[(1 + n*p)/2, -1 + (n*p)/2, 3, (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/9]) + b*
(27 + b^2)*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (n*p)/2, (-1 + n*p)/2, 2, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e +
f*x]^2)/9]*Tan[e + f*x] - 4*b^3*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (n*p)/2, (-1 + n*p)/2, 3, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2,
((-9 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/9]*Tan[e + f*x]))/(81*(-9 + b^2)*(1 + n*p)*(2 + n*p)) + (n*p*(Sec[e + f*x]^2)^((n
*p)/2)*Tan[e + f*x]^2*(Tan[e + f*x]/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^(n*p)*(-3*(2 + n*p)*(3*(3 + b^2)*AppellF1[(1 + n*p)/
2, -1 + (n*p)/2, 2, (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/9] - 4*b^2*AppellF1[(1 + n*p)/2,
-1 + (n*p)/2, 3, (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/9]) + b*(27 + b^2)*(1 + n*p)*Appel
lF1[1 + (n*p)/2, (-1 + n*p)/2, 2, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/9]*Tan[e + f*x] -
4*b^3*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (n*p)/2, (-1 + n*p)/2, 3, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e + f*x]^
2)/9]*Tan[e + f*x]))/(81*(-9 + b^2)*(1 + n*p)*(2 + n*p)) + (n*p*(Sec[e + f*x]^2)^((n*p)/2)*Tan[e + f*x]*(Tan[e
+ f*x]/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^(-1 + n*p)*(-3*(2 + n*p)*(3*(3 + b^2)*AppellF1[(1 + n*p)/2, -1 + (n*p)/2, 2, (3
+ n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/9] - 4*b^2*AppellF1[(1 + n*p)/2, -1 + (n*p)/2, 3, (3 +
n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/9]) + b*(27 + b^2)*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (n*p)/2, (-1 +
n*p)/2, 2, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/9]*Tan[e + f*x] - 4*b^3*(1 + n*p)*AppellF
1[1 + (n*p)/2, (-1 + n*p)/2, 3, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/9]*Tan[e + f*x])*(Sq
rt[Sec[e + f*x]^2] - Tan[e + f*x]^2/Sqrt[Sec[e + f*x]^2]))/(81*(-9 + b^2)*(1 + n*p)*(2 + n*p)) + ((Sec[e + f*x
]^2)^((n*p)/2)*Tan[e + f*x]*(Tan[e + f*x]/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^(n*p)*(b*(27 + b^2)*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (n*
p)/2, (-1 + n*p)/2, 2, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/9]*Sec[e + f*x]^2 - 4*b^3*(1
+ n*p)*AppellF1[1 + (n*p)/2, (-1 + n*p)/2, 3, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/9]*Sec
[e + f*x]^2 + b*(27 + b^2)*(1 + n*p)*Tan[e + f*x]*((4*(-9 + b^2)*(1 + (n*p)/2)*AppellF1[2 + (n*p)/2, (-1 + n*p
)/2, 3, 3 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/9]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(9*(2 + (n*p
)/2)) - ((1 + (n*p)/2)*(-1 + n*p)*AppellF1[2 + (n*p)/2, 1 + (-1 + n*p)/2, 2, 3 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-
9 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/9]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(2 + (n*p)/2)) - 4*b^3*(1 + n*p)*Tan[e + f*x]*((2*(-9
+ b^2)*(1 + (n*p)/2)*AppellF1[2 + (n*p)/2, (-1 + n*p)/2, 4, 3 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e +
f*x]^2)/9]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(3*(2 + (n*p)/2)) - ((1 + (n*p)/2)*(-1 + n*p)*AppellF1[2 + (n*p)/2, 1
+ (-1 + n*p)/2, 3, 3 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/9]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/
(2 + (n*p)/2)) - 3*(2 + n*p)*(3*(3 + b^2)*((-2*(-1 + (n*p)/2)*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (1 + n*p)/2, (n*p)/2, 2,
1 + (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/9]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(3 + n*p) + (4*(
-9 + b^2)*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (1 + n*p)/2, -1 + (n*p)/2, 3, 1 + (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*T
an[e + f*x]^2)/9]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(9*(3 + n*p))) - 4*b^2*((-2*(-1 + (n*p)/2)*(1 + n*p)*AppellF1[1
+ (1 + n*p)/2, (n*p)/2, 3, 1 + (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/9]*Sec[e + f*x]^2*Ta
n[e + f*x])/(3 + n*p) + (2*(-9 + b^2)*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (1 + n*p)/2, -1 + (n*p)/2, 4, 1 + (3 + n*p)/2, -T
an[e + f*x]^2, ((-9 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/9]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(3*(3 + n*p))))))/(81*(-9 + b^2)*(1
+ n*p)*(2 + n*p))))

Maple [F]

\[\int \frac {\left (c \left (d \sin \left (f x +e \right )\right )^{p}\right )^{n}}{\left (a +b \sin \left (f x +e \right )\right )^{3}}d x\]

[In]

int((c*(d*sin(f*x+e))^p)^n/(a+b*sin(f*x+e))^3,x)

[Out]

int((c*(d*sin(f*x+e))^p)^n/(a+b*sin(f*x+e))^3,x)

Fricas [F]

\[ \int \frac {\left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{(3+b \sin (e+f x))^3} \, dx=\int { \frac {\left (\left (d \sin \left (f x + e\right )\right )^{p} c\right )^{n}}{{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{3}} \,d x } \]

[In]

integrate((c*(d*sin(f*x+e))^p)^n/(a+b*sin(f*x+e))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(-((d*sin(f*x + e))^p*c)^n/(3*a*b^2*cos(f*x + e)^2 - a^3 - 3*a*b^2 + (b^3*cos(f*x + e)^2 - 3*a^2*b - b
^3)*sin(f*x + e)), x)

Sympy [F]

\[ \int \frac {\left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{(3+b \sin (e+f x))^3} \, dx=\int \frac {\left (c \left (d \sin {\left (e + f x \right )}\right )^{p}\right )^{n}}{\left (a + b \sin {\left (e + f x \right )}\right )^{3}}\, dx \]

[In]

integrate((c*(d*sin(f*x+e))**p)**n/(a+b*sin(f*x+e))**3,x)

[Out]

Integral((c*(d*sin(e + f*x))**p)**n/(a + b*sin(e + f*x))**3, x)

Maxima [F]

\[ \int \frac {\left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{(3+b \sin (e+f x))^3} \, dx=\int { \frac {\left (\left (d \sin \left (f x + e\right )\right )^{p} c\right )^{n}}{{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{3}} \,d x } \]

[In]

integrate((c*(d*sin(f*x+e))^p)^n/(a+b*sin(f*x+e))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(((d*sin(f*x + e))^p*c)^n/(b*sin(f*x + e) + a)^3, x)

Giac [F]

\[ \int \frac {\left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{(3+b \sin (e+f x))^3} \, dx=\int { \frac {\left (\left (d \sin \left (f x + e\right )\right )^{p} c\right )^{n}}{{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{3}} \,d x } \]

[In]

integrate((c*(d*sin(f*x+e))^p)^n/(a+b*sin(f*x+e))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(((d*sin(f*x + e))^p*c)^n/(b*sin(f*x + e) + a)^3, x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {\left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{(3+b \sin (e+f x))^3} \, dx=\int \frac {{\left (c\,{\left (d\,\sin \left (e+f\,x\right )\right )}^p\right )}^n}{{\left (a+b\,\sin \left (e+f\,x\right )\right )}^3} \,d x \]

[In]

int((c*(d*sin(e + f*x))^p)^n/(a + b*sin(e + f*x))^3,x)

[Out]

int((c*(d*sin(e + f*x))^p)^n/(a + b*sin(e + f*x))^3, x)